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Actividades

Números primos

Euclides demostró que todo número natural podía factorizarse como producto de números particulares que se denominan números primos.¡Enterate de todo lo que hay que saber sobre los primos!


Adrián Paenza, en el programa del canal Encuentro, "Alterados por Pi", habla de estos números y de su importancia. En este clip de video del programa vemos que el hecho de que un número esté compuesto por muchos números primos dice que el número tiene muchos divisores. Pero, ¿cómo podemos contar la cantidad de divisores de un número?, ¿qué información nos da saber la factorización de un número? Y, finalmente, ¿qué podemos hacer para saber si un número es primo?

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http://www.encuentro.gov.ar/Content.aspx?Id=2646

 

(Ver capítulo completo

 

 

Otra pregunta muy oportuna sería cuántos números primos hay, nuevamente fue Euclides quien probó, en la misma época en que demostró el Teorema Fundamental de la Aritmética, que los primos son infinitos, con una demostración tan bella como sencilla.

 

 

Actividad 1: Buscando números primos

 

En esta actividad vamos a sugerir dos formas de averiguar si un número es primo. La primera sólo responde si el número dado es primo y la segunda, llamada Criba de Eratóstenes, además nos da un listado de todos los primos menores a él.

 

El primer método consiste en dividir al número dado por todos los números menores o iguales a su raíz cuadrada, si ninguno de los cocientes es entero se puede deducir que el número es primo. Esto se debe a que, si el número tiene algún divisor mayor a su raíz cuadrada, entonces el cociente entre éstos es otro divisor que es menor o igual a su raíz cuadrada.

 

El segundo método, la Criba, consiste en escribir todos los números entre 2 y el número dado, llamémoslo n, e ir eliminando de la lista aquellos que son múltiplos de dos, salvo al dos, luego a los de tres, salvo el tres, luego a los de cinco (que es el primero que había quedado en la lista), salvo el cinco y así siguiendo. Si n fuera primo quedaría en la lista, si no en algún momento hubiera sido eliminado.  

 

Por ejemplo, para n=20 sería así:

 

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

2

3

X

5

X

7

X

9

X

11

X

13

X

15

X

17

X

19

X

2

3

X

5

X

7

X

X

X

11

X

13

X

X

X

17

X

19

X

2

3

X

5

X

7

X

X

X

11

X

13

X

X

X

17

X

19

X

 

Consignas

1- ¿Es suficiente con ver que si un número no tiene divisores menores o iguales a su raíz cuadrada para establecer que es primo? ¿Es 2009 es primo?

 

2- Construyan la Criba de Eratóstenes para los primeros 100 números.

 

Cierre

Discutan sobre cuál de los dos métodos es más eficiente para decidir si un número es primo ¿La velocidad es la única ventaja?

 

  

Actividad 2: ¿Cuántos divisores tiene un número entero? 

                                

Como es sabido, los números primos tienen exactamente dos divisores positivos, 1 y él mismo. Esta actividad está asociada a conocer la cantidad de divisores positivos que tiene un número entero. Por ejemplo 12 y 18 tienen la misma cantidad porque 12=22.3 y los divisores son de la forma 2i.3j con i igual a 0, 1 ó 2 y j igual a 0 ó 1. Mientras que en 18 están intercambiados los roles de 2 y 3.


Consignas

1- Factoricen 6,  14,  12,  30 y 36 y calculen la cantidad de divisores positivos de cada uno de ellos.

 

2- Deduzcan una fórmula general para contar la cantidad de divisores positivos de un número en función de su factorización

 

Cierre

Discutan entre todos cuáles fueron los resultados obtenidos. Observen que la cantidad de divisores de un número no tiene relación con su tamaño, si no con su factorización.

 

 

Actividad 3: La pirámide


Les proponemos el siguiente juego de ingenio en el que la factorización es una herramienta clave para resolverlo.


Consigna

Escriban en cada casilla de la pirámide un número natural mayor que 1 de modo que:

 

-La casilla superior tenga escrito el 560105280.

-El número escrito en cada casilla sea igual al producto de los números escritos en las dos casillas sobre las que está apoyada.





 

Actividad de cierre

 

Discutan acerca de la importancia de los números primos y la factorización de números enteros. Consideren cuestiones prácticas; por ejemplo: ¿sería más difícil organizar la vida si un día tuviera 23 horas y un año 13 meses? ¿Por qué usamos docenas?

 

Encuentro Descargas
Capítulo 1: Números primos
 

Enlaces de interés

Divisibilidad de números enteros.

Números primos.

Factorización de números enteros.

Autor: Sebastián Freyre